Divisibilidad

Repasaremos un tema muy importante la DIVISIBILIDAD

¿Qué es la divisibilidad y para qué sirve?

Nos explica esto Adrian Paenza (Canal Encuentro)

Entrar aquí: ANAYA 3ER CICLO

Aquí veremos:

Actividad 1.-Multiplos de un número
Actividad 2.-Mínimo común múltimplo
Actividad 3.-Divisores de un número
Actividad 4.-Números Primos y números compuestos
Actividad 5.-Criterios de  Divisibilidad

Resumiendo:

En matemáticas, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división es cero.
Se suele expresar de la forma a|b, que se lee:

«a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a».

Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3 · 2
pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4 · c, es decir que el resto de la división (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Reglas:

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo.
Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Reglas de divisibilidad más comunes: (estudiarlas para el lunes 2 de julio)

Un número es divisible por.....                                   cuando

2                   su última cifra es par (ej. 12, 450, 1000)

3                   la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (Ej. 123 = 1 +2 + 3 = 6)

4                   el número formado por sus últimas dos cifras es múltiplo de 4 (Ej. 412)

5                   su última cifra es 5 o 0 (Ej. 345, 1560)

6                   es divisible por 2 y por 3 a la vez (Ej. 450 es par y 4 + 5 + 0 = 9)

9                    la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (189 = 1 + 8 + 9 = 18)

10                  su última cifra es 0 (Ej. 4000, 560, 990)

 

Ejercitación I: CHICOS ESTA ES LA TAREA (TODOS LOS PUNTOS JUNTO CON LOS TRES PROBLEMAS QUE SON MUY SENCILLOS)

Recuerden que deben repasar las reglas de  divisibilidad , sino no podrán hacerlo directamente.

1) En cada caso completen los recuadros con una cifra adecuada para que se cumpla la condición indicada.

a) 257....  es divisible por 6                         b) ....89..... es divisible por 10 y por 6

c) ....1....2 es divisible por 4 y por 2           d) 35455..... es divisible por 5 y por 9

e)    659..... es divisible por 6                      f) 7856..... es divisible por 3

2) ¿Cuál es el múltiplo de 17 más cercano al 219?.........

3) ¿Cuál es el primer múltiplo de 13 mayor a 100?.......

3) Escriban todos los números capicuas de cuatro cifras que sean divisibles por 3 y por 5.

4) Escriban todos los divisores de 24 ..............................

5) Escriban los primeros nueve múltiplos de 8.............................

6) Escriban todos los múltiplos de 12 que sean mayores que 100 y menores de 200

7) Busca un múltiplo común entre el 2 y el 3 que sea mayor de 120 y menor que 150. Explica cómo lo hallaste.

Problemas muy simples:

a) Bárbara tiene que empaquetar 225 botones en paquetes que contengan la misma cantidad de botones cada uno ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

b) Pronto llegan las vacaciones de invierno y los chicos de sexto grado se van de campamento. Son 54 varones y piensan ir a un camping en Entre Ríos, a orillas del río Uruguay. tienen que alquilar las carpas y las que les ofrecen son para 4 o para 6 personas. ¿Qué ,modelo les sirve, si quieren aprovechar la capacidad máxima de todas las carpas?

c) Analia va al club cada 4 días a realizar gimnasia artistica y Manuel cada 7 días. Si hoy se encontraron que es sábado. ¿Cuándo volverán a encontrarse en el club? ¿Cuántas veces al mes? Justificar tu respuesta.

Ejercitación con nota

DIFERENCIAS ENTRE MÚLTIPLOS Y DIVISORES (ESTUDIAR PARA EL LUNES 2 DE JULIO)

 

¿Cómo descomponer?

DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

 Imagina que tienes el número 12 y queremos descomponer en factores primos:    un factor puede ser 6  otro, 2 y ya tenemos que
         12 = 2 x 6
             Pero 6 no es un número primo porque    6 = 2 x 3


Cuando vamos a descomponer un número en factores primos, comenzamos siempre por los factores más pequeños.
Escribimos el número a descomponer y a su derecha trazamos una recta vertical y detrás de ésta, vamos colocando los factores primos comenzando por el menor.
Ahora tienes que recordar muy bien cuándo un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13,…………….

Factoreo

Ejercitación: entra a cada uno de estos link te ayudarán para practicar el tema.

Juego 1

Juego 2   Zona Clic

Juego 3 Libro interactivo de Matemática (aquí podrás repasar la teoría y luego entrar a "EJERCICIOS" y entrar. Automáticamente entrarás al juego. Encontrarás: múltplos y divisores-

Ahora más practica por escrito:

MÚLTIPLOS Y DIVISORES:
Se dice que un número (12) es múltiplo de otro (4) cuando al dividir el primero entre el segundo, el resto es igual a cero:



En este caso, 12 es múltiplo de 3.

Contesta a las preguntas siguientes:

¿Es 12 múltiplo de 4?

¿Es 36 múltiplo de 4?

¿Es 45 múltiplo de 3?
¿Es 55 múltiplo de 11?

¿Es 63 múltiplo de 3?

 ¿Es 122 múltiplo de 4?

 ¿Es 217 múltiplo de 7?

 ¿Es 100 múltiplo de 4?

 ¿Es 76 múltiplo de 6?

Se dice que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.
Ejemplo:             3 divide exactamente a 9
                            5 no divide exactamente a 12
Podemos decir que 3 es un divisor de 9
                         y 5 no es un divisor de 12.

¿Es 7 un divisor de 21?
¿Es 5 un divisor de 127?
¿Es 3 un divisor de 21?
¿Es 11 un divisor de 121?
¿Es 2 un divisor de 231?
 ¿Es 4 un divisor de 1000?
 ¿Es 3 un divisor de 213?
 ¿Es 6 un divisor de 218?
 ¿Es 7 un divisor de 210?

Vas a descomponer en sus factores primos a estos números:

a Descompón en sus factores primos el número 225:
b Calcula los factores primos del número 225.
c ¿Cuáles son los factores primos del número 210?
d ¿Cuáles son los factores primos del número 592?
e ¿Cuáles son los factores primos del número 4410?

Continuamos:


MÁXIMO COMÚN DIVISOR    Fíjate muy bien en el significado de cada una de las tres palabras: máximo, común, divisor.

    Máximo: El mayor.
    Común:  Que sirva para dos o más números a la vez.
    Divisor:  Que al dividir por este número, el resto de cada una de las divisiones  nos dé cero.
    Ejemplo:

    Tenemos los números 24 y 20 ¿Cuál es el mayor número que podemos escribir en el divisor de modo que al dividir  24 y 20 por dicho número nos dé  cero de resto?
    ¿Qué número pondrías en el lugar de X?



Como 24 y 20 son divisibles por 2, podríamos escribir 2 en el lugar de X.

Vemos que también podríamos reemplazar X por 4.
En ambos casos el resto es cero.
¿Cuál de los dos valores es el MÁXIMO COMÚN DIVISOR?
Como verás, el mayor de los dos será el 4.
El máximo común divisor de 24 y 20 es 4 y lo escribimos de modo más reducido:

                                          m.c.d.(24,20) = 4

a ¿Cuál es el máximo común divisor de 15 y 3?

b ¿Cuál es el máximo común divisor de 21 y 14?


Calculamos el:

                    El m.c.d (90, 36 y 12)

Hacer este calculo de memoria, probando, tanteando es muy trabajoso.
Hay varios modos de hacer el cálculo. Nosotros vamos a estudiar dos maneras sin hacer uso del ordenador. Tú escoges el que te parezca mejor.

Descomponemos 90, 36 y 12 en sus factores primos:

Cuando hayas acabado de descomponer en factores primos escribes:

Ahora te fijas qué factor o divisor con menor exponente está en los tres números.
El 2 y el 3 están contenidos en 90, 36 y 12, luego, 2x3=6  el máximo común divisor y escribimos:

m.c.d (90, 36 y 12) = 6


¿CÓMO SE CALCULA EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO? Estudiarás cómo calcularlo:
1ª       Por descomposición en sus factores primos.
2ª       Por divisiones sucesivas.

3.72           Calcular el m.c.m.(185,75)

Por el método de descomposición en sus factores primos, tenemos:

m.c.m.(185,25) = 925     

Es tan sencillo el cálculo del m.c.m. que basta que sepas:

Se toman todos los factores que sean diferentes y los que sean iguales, el que tenga el exponente más grande. Si tienen iguales los exponentes, se toma uno de  los factores.

En el último ejercicio vemos que tienen el factor 5 los dos números.

En este caso tomamos el de mayor exponente:

Ejercitación:

Hallar el m.c.m de
(85 y 36) =
(74 y 120)=
(342 y 140) =
(80 y 130) =

Hallar el m.c. d de
 66 y 120=
35 y 150 =
44 y 80=
360 y 180 =

Video de Mínimo común múltiplo (Fuente:Mundo Primaria)